\[f(y) = a^y \]
\[f'(y) = a^y \ln a\]
\[f^{-1}(y) = \log_{a} y\]

\begin{align*}
  \frac{d}{dy}f^{-1}(y) &= \frac{1}{f' \circ f^{-1}(y)} \\[2ex]
  &= \frac{1}{a^{\log_{a} y} \ln a} \\[2ex]
  &= \frac{1}{y \ln a} \\
\end{align*}

Gitt at vi vet at $\frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x}$, så kan vi også løse det på følgende måte

\begin{align*}
  \frac{d}{dy} \log_{a} y &= \frac{d}{dy} \frac{\ln y}{\ln a} \\[2ex]
  &= \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{d}{dy} \ln y \\[2ex]
  &= \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{y} \\[2ex]
  &= \frac{1}{y \ln a} 
\end{align*}